--- Bài mới hơn ---
Ứng Dụng Định Nghĩa Đạo Hàm Vào Tính Giới Hạn
2.4. Giải Tích — Đắm Mình Vào Học Sâu 0.14.4 Documentation
Định Lượng Lactac Hay Axit Lactic
Axit Nucleic Là Gì? »Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Nó 2022
Tổng Hợp Các Thể Loại Anime Với Ví Dụ Và Giải Thích
Hàm nhiều biến số có ứng dụng rất rộng rãi trong các bài toán học máy vì đa số các các thuộc tính của hiện tượng ta theo dõi không phải chỉ có 1 mà rất nhiều tham số.
Các tham số này được liên kết với nhau một cách đặc biệt bởi các hàm số khác nhau để có thể đưa ra được các kết quả mong muốn.
Nên việc tìm hiểu về hàm nhiều biến là rất cần thiết để có thể hiểu được các lý thuyết của học máy.
$$ mathsf{D} subset mathbb{R}^n, f: mathsf{D} mapsto mathbb{R} $$
Hay:
$$ (x_1, x_2, …, x_n) mapsto f(x_1, x_2, …, x_n) in mathbb{R} $$
Hay biểu diễn dưới dạng véc-tơ:
$$ [x]_n in mathbb{R}^n mapsto f(x) in mathbb{R} $$
Ví dụ, cho $ x, y in mathbb{R} $ và khi đó ánh xạ $ z = f(x, y) = x^2 + y^2 $ gọi là hàm số của biến $ x, y $.
Khi làm việc với các bài toán học máy đầu ra của ta có thể không phải là một số mà là 1 tập các số nên ta thường xuyên phải làm việc với các hàm nhiều biến dạng mở rộng kiểu này. Tập các số đầu ra này ta có thể biểu diễn dưới dạng một véc-tơ, hay nói cách khác hàm nhiều biến của ta sẽ cho kết quả là một véc-tơ. Những hàm như vậy được gọi là hàm véc-tơ $ f: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m $. Ví dụ:
$$
f(x, y) = begin{bmatrix} x^2 + sin(y) cr 2xy + y^2 end{bmatrix}
$$
Để tiện giải thích và minh hoạ, trong bài này tôi sẽ đề cập tới trường hợp hàm của ta có 2 biến số. Tuy nhiên các tính chất, phép toán và phương pháp làm việc có thể mở rộng ra cho các hàm nhiều biến số hơn.
Đạo hàm riêng theo 1 biến của một hàm số là đạo hàm theo biến đó với giả thuyết rằng các biến khác là hằng số. Cụ thể, cho hàm số $ f(x, y) $ và một điểm $ M(x_0, y_0) $ thuộc tập xác định của hàm, khi đó đạo hàm theo biến $ x $ tạo điểm $ M $ được gọi là đạo hàm riêng của $ f $ theo $ x $ tại $ M $. Lúc này $ y $ sẽ được cố định bằng giá trị $ y_0 $ và hàm của ta có thể coi là hàm 1 biến của biến $ x $.
Đạo hàm riêng của $ f $ theo $ x $ lúc này sẽ được kí hiệu là: $ f_x^{prime}(x_0, y_0) $ hoặc $displaystyle frac{partial{f(x_0, y_0)}}{partial{x}} $, còn đạo hàm theo biến $ y $ được biểu diễn tương tự: $ f_y^{prime}(x_0, y_0) $ hoặc $displaystyle frac{partial{f(x_0, y_0)}}{partial{y}} $.
Với tôi thì tôi thích biểu diễn dưới dạng $ f_x^{prime} $ vì dễ nhìn và không bị nhầm lẫn với phân số.
Ví dụ: $ f(x, y) = x^2y + sin(y) $ sẽ có đạo hàm $ f_x^{prime} = 2xy $ và $ f_y^{prime} = x^2 + cos(y) $.
Còn $displaystyle f(x, y) = begin{bmatrix} x^2 + sin(y) cr 2xy + y^2 end{bmatrix} $ có đạo hàm là $displaystyle f_x^{prime} = begin{bmatrix} 2x & 2y end{bmatrix} $ và $displaystyle f_y^{prime} = begin{bmatrix} cos(y) & 2x + 2y end{bmatrix} $
Một cách hình thức đạo hàm riêng tại điểm $ M(x_0, y_0) $ theo biến $ x $ được tính toán như sau:
$$
f_x^{prime}(x_0, y_0) = limlimits_{triangle_x rightarrow 0} frac{triangle_xf}{triangle_x} = limlimits_{triangle_x rightarrow 0} frac{f(x_0 + triangle_x, y_0) – f(x_0, y_0)}{triangle_x}
$$
Theo biến $ y $:
$$
f_y^{prime}(x_0, y_0) = limlimits_{triangle_y rightarrow 0} frac{triangle_yf}{triangle_y} = limlimits_{triangle_y rightarrow 0} frac{f(x_0, y_0 + triangle_y) – f(x_0, y_0)}{triangle_y}
$$
begin{cases}
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = 2xy
crcr
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = x^2 + 2y
end{cases}
$$
và có đạo hàm cấp 2 là:
$
begin{cases}
displaystyle{frac{partial^2f}{partial{x^2}} = frac{partial}{partial{x}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{x}}Bigg)} = 2y
crcr
displaystyle{frac{partial^2f}{partial{y}partial{x}} = frac{partial}{partial{y}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{x}}Bigg)} = 2x
end{cases}
$ $
begin{cases}
displaystyle{frac{partial^2f}{partial{x}partial{y}} = frac{partial}{partial{x}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{y}}Bigg)} = 2x
crcr
displaystyle{frac{partial^2f}{partial{y^2}} = frac{partial}{partial{y}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{y}}Bigg)} = 2
end{cases}
J = nabla{f} = begin{bmatrix} nabla{f_1} & cdots & nabla{f_n} end{bmatrix}
= begin{bmatrix}
displaystyle{frac{partial{f_1}}{partial{x_1}}} & cdots & displaystyle{frac{partial{f_n}}{partial{x_1}}} cr
vdots & ddots & vdots cr
displaystyle{frac{partial{f_1}}{partial{x_m}}} & cdots & displaystyle{frac{partial{f_n}}{partial{x_m}}}
end{bmatrix}
begin{cases}
f_x^{prime} = f_u^{prime}u_x^{prime} + f_v^{prime}v_x^{prime} cr
f_y^{prime} = f_u^{prime}u_y^{prime} + f_v^{prime}v_y^{prime}
end{cases}
$$
Nhìn hơi khó nhớ phải không? Giờ ta viết lại dưới dạng giống như phân số thì chắc là dễ nhớ hơn chút:
$$
begin{cases}
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{x}}}
crcr
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{y}}}
end{cases}
begin{cases}
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{w}}frac{partial{w}}{partial{x}}}
crcr
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{w}}frac{partial{w}}{partial{y}}}
end{cases}
$$
Với hàm ẩn của hàm véc-tơ thì đạo hàm cũng được tính tương tự như vậy, nhưng có chút khác biệt khi ta sử dụng phép toán của véc-tơ. Giả sử ta có hàm véc-tơ $ f(g, h) $ có đầu ra là véc-tơ $ overrightarrow{v}(x, y) = begin{bmatrix} g(x, y) cr h(x, y) end{bmatrix} $ thì đạo hàm riêng của $ f $ sẽ là:
$$
begin{cases}
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}
= frac{partial{f}}{partial{g}}frac{partial{g}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{h}}frac{partial{h}}{partial{x}}}
crcr
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}
= frac{partial{f}}{partial{g}}frac{partial{g}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{h}}frac{partial{h}}{partial{y}}}
end{cases}
iff
begin{cases}
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}}
= begin{bmatrix}
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{g}}} cr
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{h}}}
end{bmatrix}
odot
begin{bmatrix}
displaystyle{frac{partial{g}}{partial{x}}} cr
displaystyle{frac{partial{h}}{partial{x}}}
end{bmatrix}
crcr
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}}
= begin{bmatrix}
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{g}}} cr
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{h}}}
end{bmatrix}
odot
begin{bmatrix}
displaystyle{frac{partial{g}}{partial{y}}} cr
displaystyle{frac{partial{h}}{partial{y}}}
end{bmatrix}
end{cases}
iff
begin{cases}
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = nabla{f} odot overrightarrow{v^{prime}_x}
crcr
displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = nabla{f} odot overrightarrow{v^{prime}_y}
end{cases}
$$
Như vậy ta có thể thấy đạo hàm của hàm hợp véc-tơ có thể tính bằng tích của gradient hàm hợp với đạo hàm riêng véc-tơ đầu ra.
Hàm ẩn là một hàm mà ta chưa biết dạng của nó nhưng ta biết rằng nó có thể biểu diễn qua một biến khác trong hàm số. Hơi khó hiểu chút ha!
Cho $ f(x, y) = 0 $, lúc này ta nói $ y(x) $ là hàm ẩn khi tồn tại $ y = y_0 $ sao cho $ f(x, y_0) = 0 $ với mọi $ x $. Khi đó ta còn có thể coi $ f $ là hàm một biến theo $ x $.
Mặc dù chưa biết dạng của $ y(x) $ nhưng lúc này ta có thể tính được đạo hàm của nó như sau:
$displaystyle y_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_y^{prime}} $
Đương nhiên là khi đó $ f_y^{prime} not = 0 $ thì công thức mới xác định được. Ta có thể chứng minh đơn giản như sau:
$$
f(x, y) = 0
implies f(x, y)^{prime} = 0
iff f_x^{prime} + f_y^{prime}y_x^{prime} = 0
iff y_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_y^{prime}}
$$
Viết dưới dạng loằng ngoằng ta sẽ được:
$$
frac{dy}{dx} = -frac{displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}}}{displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}}}
$$
Trường hợp tổng quá cũng sẽ được tính tương tự. Ví dụ: $ f(x, y, u) $ có hàm ẩn $ u(x, y) $ thì đạo hàm riêng của $ u $ sẽ được tính như sau:
$$
begin{cases}
displaystyle{u_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_u^{prime}}}
crcr
displaystyle{u_y^{prime} = -frac{f_y^{prime}}{f_u^{prime}}}
end{cases}
$$
--- Bài cũ hơn ---
Marketing Xuất Khẩu (Export Marketing) Là Gì?
Marketing Xuất Khẩu (Export Marketing) Là Gì? Đặc Điểm
Video Marketing Là Gì Xu Hướng Video Marketing 2022
12 Lợi Ích Của Video Marketing Và Chiến Lược Quảng Cáo Khiến Bạn Phải Đầu Tư
Video Marketing Là Gì? Các Loại Video Marketing Thường Sử Dụng