Xem Nhiều 5/2022 # Đạo Hàm Của Hàm Nhiều Biến Số # Top Trend

Xem 17,127

Cập nhật thông tin chi tiết về Đạo Hàm Của Hàm Nhiều Biến Số mới nhất ngày 25/05/2022 trên website Doisonggiaitri.com. Hy vọng nội dung bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn, chúng tôi sẽ thường xuyên cập nhật mới nội dung để bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất. Cho đến thời điểm hiện tại, bài viết này đã đạt được 17,127 lượt xem.

--- Bài mới hơn ---

  • Ứng Dụng Định Nghĩa Đạo Hàm Vào Tính Giới Hạn
  • 2.4. Giải Tích — Đắm Mình Vào Học Sâu 0.14.4 Documentation
  • Định Lượng Lactac Hay Axit Lactic
  • Axit Nucleic Là Gì? »Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Nó 2022
  • Tổng Hợp Các Thể Loại Anime Với Ví Dụ Và Giải Thích
  • Hàm nhiều biến số có ứng dụng rất rộng rãi trong các bài toán học máy vì đa số các các thuộc tính của hiện tượng ta theo dõi không phải chỉ có 1 mà rất nhiều tham số.

    Các tham số này được liên kết với nhau một cách đặc biệt bởi các hàm số khác nhau để có thể đưa ra được các kết quả mong muốn.

    Nên việc tìm hiểu về hàm nhiều biến là rất cần thiết để có thể hiểu được các lý thuyết của học máy.

    $$ mathsf{D} subset mathbb{R}^n, f: mathsf{D} mapsto mathbb{R} $$

    Hay:

    $$ (x_1, x_2, …, x_n) mapsto f(x_1, x_2, …, x_n) in mathbb{R} $$

    Hay biểu diễn dưới dạng véc-tơ:

    $$ [x]_n in mathbb{R}^n mapsto f(x) in mathbb{R} $$

    Ví dụ, cho $ x, y in mathbb{R} $ và khi đó ánh xạ $ z = f(x, y) = x^2 + y^2 $ gọi là hàm số của biến $ x, y $.

    Khi làm việc với các bài toán học máy đầu ra của ta có thể không phải là một số mà là 1 tập các số nên ta thường xuyên phải làm việc với các hàm nhiều biến dạng mở rộng kiểu này. Tập các số đầu ra này ta có thể biểu diễn dưới dạng một véc-tơ, hay nói cách khác hàm nhiều biến của ta sẽ cho kết quả là một véc-tơ. Những hàm như vậy được gọi là hàm véc-tơ $ f: mathbb{R}^n mapsto mathbb{R}^m $. Ví dụ:

    $$

    f(x, y) = begin{bmatrix} x^2 + sin(y) cr 2xy + y^2 end{bmatrix}

    $$

    Để tiện giải thích và minh hoạ, trong bài này tôi sẽ đề cập tới trường hợp hàm của ta có 2 biến số. Tuy nhiên các tính chất, phép toán và phương pháp làm việc có thể mở rộng ra cho các hàm nhiều biến số hơn.

    Đạo hàm riêng theo 1 biến của một hàm số là đạo hàm theo biến đó với giả thuyết rằng các biến khác là hằng số. Cụ thể, cho hàm số $ f(x, y) $ và một điểm $ M(x_0, y_0) $ thuộc tập xác định của hàm, khi đó đạo hàm theo biến $ x $ tạo điểm $ M $ được gọi là đạo hàm riêng của $ f $ theo $ x $ tại $ M $. Lúc này $ y $ sẽ được cố định bằng giá trị $ y_0 $ và hàm của ta có thể coi là hàm 1 biến của biến $ x $.

    Đạo hàm riêng của $ f $ theo $ x $ lúc này sẽ được kí hiệu là: $ f_x^{prime}(x_0, y_0) $ hoặc $displaystyle frac{partial{f(x_0, y_0)}}{partial{x}} $, còn đạo hàm theo biến $ y $ được biểu diễn tương tự: $ f_y^{prime}(x_0, y_0) $ hoặc $displaystyle frac{partial{f(x_0, y_0)}}{partial{y}} $.

    Với tôi thì tôi thích biểu diễn dưới dạng $ f_x^{prime} $ vì dễ nhìn và không bị nhầm lẫn với phân số.

    Ví dụ: $ f(x, y) = x^2y + sin(y) $ sẽ có đạo hàm $ f_x^{prime} = 2xy $ và $ f_y^{prime} = x^2 + cos(y) $.

    Còn $displaystyle f(x, y) = begin{bmatrix} x^2 + sin(y) cr 2xy + y^2 end{bmatrix} $ có đạo hàm là $displaystyle f_x^{prime} = begin{bmatrix} 2x & 2y end{bmatrix} $ và $displaystyle f_y^{prime} = begin{bmatrix} cos(y) & 2x + 2y end{bmatrix} $

    Một cách hình thức đạo hàm riêng tại điểm $ M(x_0, y_0) $ theo biến $ x $ được tính toán như sau:

    $$

    f_x^{prime}(x_0, y_0) = limlimits_{triangle_x rightarrow 0} frac{triangle_xf}{triangle_x} = limlimits_{triangle_x rightarrow 0} frac{f(x_0 + triangle_x, y_0) – f(x_0, y_0)}{triangle_x}

    $$

    Theo biến $ y $:

    $$

    f_y^{prime}(x_0, y_0) = limlimits_{triangle_y rightarrow 0} frac{triangle_yf}{triangle_y} = limlimits_{triangle_y rightarrow 0} frac{f(x_0, y_0 + triangle_y) – f(x_0, y_0)}{triangle_y}

    $$

    begin{cases}

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = 2xy

    crcr

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = x^2 + 2y

    end{cases}

    $$

    và có đạo hàm cấp 2 là:

    $

    begin{cases}

    displaystyle{frac{partial^2f}{partial{x^2}} = frac{partial}{partial{x}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{x}}Bigg)} = 2y

    crcr

    displaystyle{frac{partial^2f}{partial{y}partial{x}} = frac{partial}{partial{y}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{x}}Bigg)} = 2x

    end{cases}

    $      $

    begin{cases}

    displaystyle{frac{partial^2f}{partial{x}partial{y}} = frac{partial}{partial{x}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{y}}Bigg)} = 2x

    crcr

    displaystyle{frac{partial^2f}{partial{y^2}} = frac{partial}{partial{y}}Bigg(frac{partial{f}}{partial{y}}Bigg)} = 2

    end{cases}

    J = nabla{f} = begin{bmatrix} nabla{f_1} & cdots & nabla{f_n} end{bmatrix}

    = begin{bmatrix}

    displaystyle{frac{partial{f_1}}{partial{x_1}}} & cdots & displaystyle{frac{partial{f_n}}{partial{x_1}}} cr

    vdots & ddots & vdots cr

    displaystyle{frac{partial{f_1}}{partial{x_m}}} & cdots & displaystyle{frac{partial{f_n}}{partial{x_m}}}

    end{bmatrix}

    begin{cases}

    f_x^{prime} = f_u^{prime}u_x^{prime} + f_v^{prime}v_x^{prime} cr

    f_y^{prime} = f_u^{prime}u_y^{prime} + f_v^{prime}v_y^{prime}

    end{cases}

    $$

    Nhìn hơi khó nhớ phải không? Giờ ta viết lại dưới dạng giống như phân số thì chắc là dễ nhớ hơn chút:

    $$

    begin{cases}

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{x}}}

    crcr

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{y}}}

    end{cases}

    begin{cases}

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{w}}frac{partial{w}}{partial{x}}}

    crcr

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}} = frac{partial{f}}{partial{u}}frac{partial{u}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{v}}frac{partial{v}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{w}}frac{partial{w}}{partial{y}}}

    end{cases}

    $$

    Với hàm ẩn của hàm véc-tơ thì đạo hàm cũng được tính tương tự như vậy, nhưng có chút khác biệt khi ta sử dụng phép toán của véc-tơ. Giả sử ta có hàm véc-tơ $ f(g, h) $ có đầu ra là véc-tơ $ overrightarrow{v}(x, y) = begin{bmatrix} g(x, y) cr h(x, y) end{bmatrix} $ thì đạo hàm riêng của $ f $ sẽ là:

    $$

    begin{cases}

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}

    = frac{partial{f}}{partial{g}}frac{partial{g}}{partial{x}} + frac{partial{f}}{partial{h}}frac{partial{h}}{partial{x}}}

    crcr

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}

    = frac{partial{f}}{partial{g}}frac{partial{g}}{partial{y}} + frac{partial{f}}{partial{h}}frac{partial{h}}{partial{y}}}

    end{cases}

    iff

    begin{cases}

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}}

    = begin{bmatrix}

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{g}}} cr

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{h}}}

    end{bmatrix}

    odot

    begin{bmatrix}

    displaystyle{frac{partial{g}}{partial{x}}} cr

    displaystyle{frac{partial{h}}{partial{x}}}

    end{bmatrix}

    crcr

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}}

    = begin{bmatrix}

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{g}}} cr

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{h}}}

    end{bmatrix}

    odot

    begin{bmatrix}

    displaystyle{frac{partial{g}}{partial{y}}} cr

    displaystyle{frac{partial{h}}{partial{y}}}

    end{bmatrix}

    end{cases}

    iff

    begin{cases}

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}} = nabla{f} odot overrightarrow{v^{prime}_x}

    crcr

    displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}} = nabla{f} odot overrightarrow{v^{prime}_y}

    end{cases}

    $$

    Như vậy ta có thể thấy đạo hàm của hàm hợp véc-tơ có thể tính bằng tích của gradient hàm hợp với đạo hàm riêng véc-tơ đầu ra.

    Hàm ẩn là một hàm mà ta chưa biết dạng của nó nhưng ta biết rằng nó có thể biểu diễn qua một biến khác trong hàm số. Hơi khó hiểu chút ha!

    Cho $ f(x, y) = 0 $, lúc này ta nói $ y(x) $ là hàm ẩn khi tồn tại $ y = y_0 $ sao cho $ f(x, y_0) = 0 $ với mọi $ x $. Khi đó ta còn có thể coi $ f $ là hàm một biến theo $ x $.

    Mặc dù chưa biết dạng của $ y(x) $ nhưng lúc này ta có thể tính được đạo hàm của nó như sau:

    $displaystyle y_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_y^{prime}} $

    Đương nhiên là khi đó $ f_y^{prime} not = 0 $ thì công thức mới xác định được. Ta có thể chứng minh đơn giản như sau:

    $$

    f(x, y) = 0

    implies f(x, y)^{prime} = 0

    iff f_x^{prime} + f_y^{prime}y_x^{prime} = 0

    iff y_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_y^{prime}}

    $$

    Viết dưới dạng loằng ngoằng ta sẽ được:

    $$

    frac{dy}{dx} = -frac{displaystyle{frac{partial{f}}{partial{x}}}}{displaystyle{frac{partial{f}}{partial{y}}}}

    $$

    Trường hợp tổng quá cũng sẽ được tính tương tự. Ví dụ: $ f(x, y, u) $ có hàm ẩn $ u(x, y) $ thì đạo hàm riêng của $ u $ sẽ được tính như sau:

    $$

    begin{cases}

    displaystyle{u_x^{prime} = -frac{f_x^{prime}}{f_u^{prime}}}

    crcr

    displaystyle{u_y^{prime} = -frac{f_y^{prime}}{f_u^{prime}}}

    end{cases}

    $$

    --- Bài cũ hơn ---

  • Marketing Xuất Khẩu (Export Marketing) Là Gì?
  • Marketing Xuất Khẩu (Export Marketing) Là Gì? Đặc Điểm
  • Video Marketing Là Gì Xu Hướng Video Marketing 2022
  • 12 Lợi Ích Của Video Marketing Và Chiến Lược Quảng Cáo Khiến Bạn Phải Đầu Tư
  • Video Marketing Là Gì? Các Loại Video Marketing Thường Sử Dụng
  • Bạn đang xem bài viết Đạo Hàm Của Hàm Nhiều Biến Số trên website Doisonggiaitri.com. Hy vọng những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ là hữu ích với bạn. Nếu nội dung hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!

  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100